Бабурин находился в аренде в «Краснодаре» с 25 февраля. По данным источника, изначально «быки» арендовали Бабурина с возможностью выкупа — такие планы существовали на случай выхода команды в еврокубки. В лице Бабурина руководство «Краснодара» видело опытную замену основному голкиперу Матвею Сафонову.
Но когда по итогам сезона «Краснодар» в еврокубки не попал, в клубе отказались от выкупа вратаря, посчитав, что в чемпионате России команде хватит сил собственных воспитанников. Таким образом, Бабурин возвращается в «Ростов» и соберется вместе с остальными футболистами 15 июня после отпуска.
В сезоне-2020/21 Бабурин сыграл за «Краснодар» всего 2 матча, пропустив в них 3 гола.