Искусственный интеллект помог придумать моноплитку-эйнштейн, которой можно заполнить трехмерное пространство без повторения узоров. Описание новой геометрической фигуры выложил на сервере препринтов arXiv руководитель лаборатории ИИ Automorph Иоаннис Циокос.
Открытие продолжает громкую историю 2023 года, когда мир популярной математики всколыхнула «шляпа». Эту фигуру нашел математик-любитель Дэвид Смит. В опубликованной позже статье он с соавторами доказал, что «шляпа» стала первым известным примером двумерной апериодической моноплитки, которую также называют «эйнштейном» (по-немецки ein Stein примерно означает «один камень», то есть «одна фигура»). Иными словами, «шляпа» — это фигура, которой можно бесконечно замостить двумерную поверхность, ни разу не создав повторяющегося узора. Эти «шляпы»-кирпичики можно приставлять друг к другу, получая все более крупные фигуры, которые тоже выглядят как «шляпа», и сколь огромной ни была бы поверхность — узор не будет повторяться.
Циокос перенес эту идею в трехмерное пространство. Свою моноплитку он назвал Chair44 — она и в самом деле чем-то похожа на стул. Требованиям апериодичности фигура удовлетворяет: «стулья» можно соединять, получая все больший и больший «стул», так, чтобы пирамидальные выступы на стыках точно входили в ответные углубления.
«Я сам не математик», — говорит Циокос. По его словам, фигуру он искал с помощью ChatGPT-6 Astra от OpenAI, писать статью ему помогал Claude Fable 5.1 от Anthropic.
Составляем стулья в бесконечный стул
Чтобы понять геометрическую концепцию Chair44, Циокос предлагает представить большой куб из восьми маленьких кубиков, соединенных вместе. Один кубик из него убирается. «Теперь у нас есть „стул“ — chair», — говорит он.
Следующая цель на этом пути — создать более крупную фигуру-«стул». Такую увеличенную форму можно построить, соединив восемь маленьких «стульев». Чтобы получить полное замощение, достаточно повторять этот процесс снова и снова, до бесконечности.
Важно, что строя все более крупные «стулья», нужно располагать маленькие «стулья» в неповторяющемся узоре, чтобы итоговое замощение получилось апериодическим.
«Фокус» гарантированного апериодического замощения «в том, что растить „стул“ нужно так, чтобы его свойства развивались вместе с ним», объясняет автор. Чтобы получить это итеративное, рекурсивное построение «стульев», нужно позаботиться о том, «чтобы между „стульями“ были своего рода замки́, благодаря которым они образуют все более крупные „стулья“», складывающиеся в неповторяющийся узор.
Праздник в честь новой фигуры
Моноплитку-шляпу чествовали так широко, что даже двухдневный праздник Hatfest устроили в Оксфордском университете. Реакция на Chair44 куда сдержаннее — из-за использования ИИ.
«В то, что попало в Astra для этой работы, вложено много человеческого труда», — уверяет Циокос.
Коллеги сомневаются. Хаим Гудман-Стросс, один из математиков, стоявших за доказательством для «шляпы», и популяризатор математики в Национальном музее математики, нашел в статье Циокоса «характерные признаки исследовательской работы, написанной большой языковой моделью», включая «столько ненужной воды, через которую приходится продираться». Гудман-Стросс — один из как минимум двух исследователей, которые к настоящему времени представили собственные, написанные человеком доказательства, что Chair44 — апериодическая моноплитка.
Он называет ее фигурой L. «Из восьми маленьких копий можно сделать его увеличенную версию. Любопытно, что эта фигура способна и на всякие другие безумства», — говорит математик.
Написанное человеком — для понимания человеком
«Я знаю, что многие математики недовольны тем, как была найдена эта плитка. Позитивный взгляд: у нас есть новый важный результат», — комментирует физик-теоретик Феликс Фликер из Бристольского университета, который был одним из организаторов Hatfest.
Он — автор еще одного препринта о Chair44, цель которого — «дать первое написанное человеком, читаемое человеком, а значит, пригодное для рецензирования и защиты доказательство, что Chair44 — сильно апериодическая моноплитка». Фликер не скрывает, что в написании этой работы не обошелся без помощи Claude.
Статья Циокоса о Chair44 — «это лишь первый пример того, с чем мы будем сталкиваться все чаще», констатирует Гудман-Стросс.
«Один из больших уроков эпохи больших языковых моделей в том, что нам стоит вспомнить все те [математические] вопросы, которые мы задавали раньше и с которыми было трудно разобраться», — считает он.
Возможно, некоторые из этих проблем теперь удастся решить благодаря LLM — хотя эти технологии не заменяют человеческое рассуждение, добавил Гудман-Стросс.